Der Proportionalzirkel

Erstellt von E. Pommel anhand des Buches
« Usage du Compas de Proportion et de L’ instrument universel »
von M. Ozanan, Paris 1769

Allgemeines

Die ersten Beschreibungen des Proportionalzirkels, der gegen Ende des 16. Jahrhunderts erfunden wurde, wurden 1606 von Galilei und 1607 von Baldassare Capra aus Padua veröffentlicht. Aber schon etwa 1568 hatte ein Freund Galileis, Guidobaldo del Monte, ebenfalls einen solchen Zirkel konstruieren lassen. Dieses Instrument, das sich seit seinem Ursprung nur noch sehr wenig weiterentwickelt hat, wurde im 17. und 18. Jahrhundert sehr viel gebraucht, auch noch bis zum Ende des 19. Jahrhunderts. Es war gut auf den Gebrauch für Ingenieure, Geometer, Artilleristen und alle Arten von Handwerkern abgestimmt, da es auf einfache, graphische Weise Berechnungen durchführen konnte, die sonst lang und kompliziert werden konnten.

 

 

Der Proportionalzirkel besteht aus zwei flachen Linealstäben, die die Schenkel eines Winkels bilden  an einer Schmalseite mit einem flachen Scharnier verbunden sind. Dieses ist so angelegt, dass der Zirkel sich vollkommen öffnen lässt, so dass er dann ein gerades Lineal bildet. Vom Zentrum des Scharniers geht eine ganze Reihe von divergierenden geraden Linien aus, immer zwei und zwei identisch, entweder symmetrisch zueinander oder zur Öffnungsachse des Instruments; diese Linien tragen verschiedene Einteilungen. Natürlich hängt von der Präzision der Graduierung und der Bauweise des Scharniers und der Definition seines Zentrums die Genauigkeit der Berechnungen ab, die man mit dem Instrument durchführen kann.

Das Gebrauchsprinzip besteht darin, die Schenkel zu öffnen und die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke zu nutzen. Mit Hilfe eines Stechzirkels überträgt man zunächst die betreffenden Größen zwischen zwei identische Markierungen eines Skalenpaars auf beiden Schenkeln gehören. Dann misst man an einer anderen Stelle der Skalen zwischen zwei identischen Markierungen eine andere Größe ab. Je nach der verwendeten Skala kann man so direkt Ergebnisse von arithmetischen Berechnungen erzielen, die Segmente aus einer Geraden betreffen oder Winkel, Oberflächen oder Volumen. Man kann ebenfalls Aufgaben lösen, die das Gewicht oder das Volumen von Metallen betreffen, auch von Legierungen, und mit den besonderen Skalen, die den Durchmesser von Artilleriegeschossen bezeichnen, kann man ebenso den Durchmesser und das Gewicht von Eisenkugeln bestimmen.

Das klassische Maß für Proportionalzirkel ist dasjenige, bei dem die Skalen auf jedem Schenkel 6 Pouces (Daumen), d.h. zwischen 16 und 17 cm, also einen halben Fuß lang sind, so dass das Instrument in voller Länge einen Fuß misst. Wenn es sich dabei um Pariser Maße handelt, erhält man einen „Königsfuß“. Die damals üblichen Längenmaße (allerdings in verschiedenen Provinzen unterschiedlich groß), waren

Die mit Einteilungen versehenen Skalen

Die allgemeine Beschreibung, die hier gegeben wird, ist die des klassischen Modells eines Proportionalzirkels von 6 Daumen Länge. Abgesehen von den Einzelheiten in den Darstellungen der Eingravierung bezieht sie sich auf das tatsächliche Instrument, das später noch einmal erwähnt wird.

Die Lage der Skalen in Beziehung zueinander ist im Prinzip immer die gleiche: Sie ist festgelegt durch den Gebrauch des Instruments: Man muss bequem die Beziehungen herstellen können zwischen verschiedenen Skalen. Danach findet man von außen nach innen folgende Einteilung:

Selbstverständlich trägt jede der Skalen eine Titelbezeichnung, „Gleiche Teile“, „Ebenen“ etc. Manche Instrumente, die dadurch ein bisschen überladen wirken, enthalten noch andere Gradeinteilungen, zuweilen bis zur Kante der Lineale. Die Unterschrift des Konstrukteurs, wenn sie denn existiert, findet sich im Allgemeinen auf der Seite der Streckenlinie, weil man da genügend Platz hat.

 

Vorderseite

 

 

Die Linie der gleichen Teile (Les Parties Egales)

ist in 200 gleiche Teile eingeteilt, die alle 10 Teilstriche nummeriert sind. Sie dient dazu, arithmetische Aufgaben zu lösen, etwa um eine gegebene Länge in gleiche Teilstücke oder zueinander proportionale Teile zu zerlegen, eine Strecke zu finden, die zwei anderen proportional zugeordnet ist usw.

 

Die Linie der Ebenen (Les Plans)

ist in 64 Teilstücke eingeteilt und auch alle 10 Teilstriche nummeriert. Sie ist ursprünglich eine Skala, die proportional zum Quadrat der Abstände von jeder Einteilung zum Ursprung (das bedeutet zum Zentrum des Zirkels) ist. Sie gibt die Längen der homologen Seiten von vielfachen Oberfächen an (Doppeltes, Dreifaches...), wobei die kleinste als Einheit genommen wird. Diese Skala erlaubt es, Aufgaben zu lösen, die mit Oberflächen zu tun haben, so wie die vorige Skala sich mit den Segmenten einer Geraden beschäftigte.

 

Die Linie der Vielecke (Les Poligones)

umfasst 10 Gradeinheiten, die von 3 bis 12 nummeriert sind. Sie gibt die Länge der Seiten der zehn ersten Vielecke an, die in einen Kreis mit gegebenem Durchmesser eingezeichnet werden können. Man liest vom Zentrum bis zu der Ziffer ab, die charakteristisch ist für das jeweilige Vieleck (3 für das Dreieck, 4 für das Quadrat, und so weiter für das Fünfeck, Sechseck, Siebeneck, Achteck, Neuneck, Zehneck, Elfeck, bis zur 12 für das Zwölfeck).

 

Rückseite

Die Linie der Sehnen (Les Cordes)

ist in 180 Teile eingeteilt, die alle zehn Teilstriche nummeriert sind. Diese Skala ist proportional zu aufeinander folgenden Bögen (von Grad zu Grad) von Halbkreisen, deren Durchmesser der Länge dieser Skala gleich ist. Die Gradeinteilungen sind also proportional zu den Kosinus-Werten. Die Skala erlaubt Rechenoperationen zu Kreisbögen und Winkeln.

Die Linie der geometrischen Körper (Les Solides)

ist in 64 Teile eingeteilt, auch alle zehn Teilstriche nummeriert. Sie ist proportional zum Quadrat der Entfernungen von jeder Einteilung zum Zentrum des Zirkels und gibt die Länge der homologen Seiten des vielfachen Volumens (Doppeltes, Dreifaches...) des kleinsten Körpers an, der als Einheit genommen wird. Die Skala erlaubt es, Aufgaben zu lösen, die mit dem Volumen zu tun haben, so wie die Linie der Flächen und der gleichen Teile es erlauben, Flächen oder Strecken zu berechnen.

Die Linie der Metalle (Les Metaux)

umfasst 6 Gradeinteilungen, die begleitet sind von dem astronomischen Symbol für eins der sechs gebräuchlichsten Metalle, die in der Reihenfolge ihrer Dichte vorgestellt werden. Von den äußeren Spitzen des Zirkels zum Zentrum hin findet man hier: Jupiter für Zinn, Mars für Eisen, Merkur für Kupfer, Mond für Silber, Saturn für Blei und Sonne für Gold. Die Entfernungen von jeder Gradeinteilung zum Zentrum des Proportionalzirkels sind umgekehrt proportional zur Kubikwurzel der Dichte dieser Metalle. Mit Hilfe dieser Skala kann man Aufgaben lösen, die das Gewicht, das Volumen oder die Zusammensetzung der Legierung von Metallen betreffen.

Die Linie der Geschosskaliber (CDP, Calibre des Pieces)
und die des Gewichtes von Eisenkugeln (PDB, Pois de Boulets oder PDP Poids des Pieces),

sind eingeteilt für Kugeln von ¼ Pfund bis 36 Pfund Gewicht.

 

Einige Anwendungsbeispiele

Im Allgemeinen benutzt man de Proportionalzirkel in Verbindung mit einem Stechzirkel. Mit diesem greift man ein gegebenes Maß ab und überträgt es auf den Proportionalzirkel zwischen zwei identischen Gradeinteilungen von der gleichen Linienart auf die Schenkel, die man entsprechend öffnet. Danach misst man mit dem Stechzirkel zwischen zwei anderen identischen Gradeinteilungen derselben Linie die gesuchte Größe ab, wobei man die Öffnung des Proportionalzirkels beibehält.

 

Linie der gleichen Teile (Parties Egales)

 1.  Addition oder Subtraktion von Strecken mit gegebenem Maß:

Wenn AB 140 Einheiten misst, wie groß ist dann die Strecke CD mit 20 Einheiten?


Nachdem man mit dem Stechzirkel das Maß von AB abgenommen hat, wird dieses Maß zwischen den zwei Gradeinteilungen 140 der Linie der gleichen Teile übertragen und die zwei Schenkel des Proportionalzirkels entsprechend geöffnet. Mit den Spitzen des Stechzirkels übernimmt man dann das Maß zwischen den zwei Einheiten 20 der Linie der gleichen Teile auf dem Proportionalzirkel, der immer noch so weit geöffnet ist wie vorher. Das ist die Länge der gesuchten Strecke CD.

 

2.   Teilen eines Geradensegments in gleiche Teile oder Vergrößerung eines solchen Segments:

Zu finden ist der 7. Teil der Strecke AB.

Man trägt AB zwischen den identischen Gradeinteilungen Vielfache von 7 (beispielsweise 140) ein. Nun nimmt man die Länge des 7. Teils zwischen den identischen Gradeinteilungen des Werts 140/7, also 20. 

Mit dem umgekehrten Verfahren kann man auch CD vergrößern.

3.   Maß der Seiten eines Vielecks, von dem eine Seite bekannt ist:

Wenn AB 140 Einheiten misst, wie lang ist dann CD?

Man trägt AB zwischen den identischen Markierungen 140 ab, sucht die Markierungen, die dem Maß von CD entsprechen, die man mit dem Stechzirkel abgenommen hat, und die Zahl, die diese Gradabstufungen charakterisiert, ist der gesuchte Wert.

 

4.   Einteilung eines Geradenabschnitts

(ähnlich wie Fall 2, aber nicht zu verwechseln mit Fall 5):

Es sind 2/7 oder 20/70 von AB zu markieren.

Man nimmt AB zwischen den identischen Gradabstufungen 70 ab, dann misst man die Länge der 2/7 zwischen den Gradabstufungen 20.

5.   Teilung eines Geradenabschnitts in proportionale Teile

AB ist in zwei Teilstücke zu teilen, die zueinander im Verhältnis 2:7 stehen sollen. 

2 + 7 = 9 (oder 20 + 70 = 90) AB wird zwischen den identischen Gradeinteilungen 90 abgenommen, dann wird das Maß zwischen den Gradabstufungen 20 oder 70 bestimmt, das, von dem einen oder anderen Endpunkt der Strecke aus abgetragen, den Geradenabschnitt so einteilt, wie die Aufgabe es verlangt.

Hinweis: Für alle diese Operationen gilt: Wenn AB zu lang ist, um zwischen die zwei Schenkel des Proportionalzirkels zu passen, reicht es aus, mit einem beliebigen Bruchteil von AB zu operieren (1/4, 1/1000...) und das Ergebnis mit dem entsprechenden Faktor zu multiplizieren (4, 1000...)

Linie der Ebenen (Les Plans)

Vielecke sind in Dreiecke zu zerlegen, so dass man mit ähnlichen Seiten arbeiten kann. Bei Kreisen arbeitet man mit dem Durchmesser.

6.    Vergrößerung oder Verkleinerung einer Vieleck- oder Kreisfläche

Ein Dreieck ist so zu verändern, dass seine Fläche 15fach vergrößert wird.

Man trägt die erste Seite zwischen den identischen Gradeinteilungen 1 ab. Dann nimmt man die homologe Seite und misst zwischen den identischen Gradeinteilungen 15 und verfährt entsprechend weiter für die anderen Seiten. Umgekehrt kann man, statt zu vergrößern, entsprechend verkleinern.

 

7.   Beziehung zwischen zwei ähnlichen Vieleck- oder Kreisflächen

Wie ist das Verhältnis der Flächen der Kreise AB und CD?

 

Bei einer beliebigen Öffnung des Proportionalzirkel werden die zwei Durchmesser zwischen identischen Gradeinteilungen bei x und y abgetragen.  Das Verhältnis zwischen den Zahlen dieser Gradeinteilungen y und x ist das gesuchte. (Wenn es möglich ist, öffnet man den Proportionalzirkel so, dass x und y ganze Zahlen sind.)

Hinweis: Wie bei den gleichen Teilen kann man auch hier mit Bruchteilen der Seiten oder Durchmesser operieren.

Linie der Vielecke (Les Poligones)

8.   Einzeichnung eines regelmäßigen Vielecks in einen Kreis mit gegebenem Radius

Der gegebene Radius wird zwischen den Gradeinteilungen 6 abgetragen (und zwar für alle Arten von Vielecken). Danach wird die Seite des Vielecks zwischen den identischen Gradeinteilungen, die es charakterisieren (3 für Dreieck, 4 für Quadrat...) abgemessen. 

9.   Zeichnen eines regemäßigen Vielecks mit Hilfe einer Strecke, die als Seite gegeben ist

Zunächst die Länge des Geradenabschnitts zwischen den Gradeinteilungen messen, die das geplante Vieleck charakterisieren. Dann wird zwischen den Gradeinteilungen 6 das Maß des Radius desjenigen Kreises abgenommen, den man in dieses Vieleck einzeichnen kann. Von jedem Ende der gegebenen Strecke zeichnet man nun zwei Kreisbögen, die als Radium die oben beschriebene Strecke haben: Ihre Schnittstelle ist der Mittelpunkt des Kreises, der in das Vieleck eingezeichnet wird. Dieser Kreis wird nun gezogen und nacheinander die gleichen Seiten gezeichnet, die der gegebenen Strecke gleich sind. (Und woher hat man den Winkel zwischen den Seiten??)

 Linie der Sehnen (Les Cordes)

10. Zeichnung eines Winkels von gegebenem Wert

Ein Winkel von 40 ° ist von B aus zu zeichnen. Mit B als Mittelpunkt wird ein beliebiger Kreis CX gezogen. Der Radius dieses Kreises wird zwischen den Gradeinteilungen 60 abgetragen. Dann wird die Länge zwischen den Gradeintielungen 40 abgenommen und sie auf D übertragen, wobei C als Mittelpunkt genommen wird. Der Winkel ABD beträgt nun 40 °.

11. Maß eines gegebenen Winkel bestimmen

Vom Scheitelpunkt B aus zeichnet man einen beliebigen Kreisbogen CX, der die Strecke BE in D schneidet. Der Radius dieses Kreises wird zwischen den Gradabstufungen 60 abgetragen. Danach nimmt man die Länge von CD ab und sucht die identischen Gradeinteilungen, die ihr entsprechen: Die Zahl dieser Gradeinteilungen ist der gesuchte Wert.

 

Linie der Körper (Les Solides)

Wenn es sich um Parallelflächner handelt, arbeitet man mit den Kanten. Wenn es sich um Kugeln handelt, arbeitet man mit dem Durchmesser.

12. Vergrößerung oder Verkleinerung eines Paralleflächners oder einer Kugel

Ein rechtwinkliger Parallelflächner mit dem Inhalt 3 soll auf den Inhalt 5 vergrößert werden.

(Um bequemer rechnen zu können, benutzen wir hier 30 und 50 anstelle von 3 und 5.)

Man trägt die erste Kante zwischen den Gradabstufungen 30 ab. Dann nimmt man die homologe Kante zwischen den Gradabstufungen 50 ab und verfährt bei den anderen Kanten entsprechend weiter.

13. Verhältnis zwischen zwei ähnlichen geometrischen Volumen

Man arbeitet nach demselben Prinzip wie in 7. und wendet es hier auf die Linie der Körper an.

Linie der Metalle (Les Metaux)

14. Gegeben ist der Durchmesser einer Kugel aus einem bestimmten Metall mit bekanntem Gewicht. Gesucht wird der Durchmesser einer Kugel gleichen Gewichts aus einem anderen Metall.

Man trägt den bekannten Durchmesser zwischen den identischen Gradabstufungen ab, die charakteristisch für dieses Metall sind (Sonnensymbol für Gold etc.) Dann liest man den gesuchten Durchmesser zwischen den identischen Gradeinteilungen für das gewünschte Metall ab.

15. Das Verhältnis der Gewichte entsprechend dem gleichen Volumen verschiedener Metalle

Man nimmt die Entfernung vom Zentrum des Proportionalzirkels bis zu der Gradeinteilung, die das leichteste Metall bestimmt und überträgt sie zwischen zwei beliebige identische Gradeinteilungen auf der Linie der Körper (x; x). Dann misst man die Entfernung vom Zentrum des Proportionalzirkels bis zu der Gradeinstellung, die das schwerste Metall bestimmt. Darauf sucht man auf der Linie der Körper, welcher Gradeinstellung diese Entfernung entspricht (y;y). Das Verhältnis der Zahl der Gradeinstellung von y zu der von x ist das gesuchte Verhältnis.

 

16. Ein Gegenstand aus Metall ist gegeben, dessen Material, Gewicht und Ausmaße bekannt sind. Gesucht wird das nötige Gewicht eines anderen Metalls, um das gleiche Objekt mit denselben Ausmaßen herzustellen.

Gegeben ist eine Zinndose mit dem Gewicht von 36. Welches Gewicht in Silber braucht man, um die gleiche Dose herzustellen?

Man nimmt die Entfernung vom Zentrum des Zirkels bis zur Bezeichnung für Silber und überträgt sie auf die Gradeinstellung 36 auf der Linie der Körper.

Dann nimmt man die Entfernung vom Zentrum des Zirkels bis zum Symbol für

Zinn und sucht auf der Linie der Körper, welche zwei identischen Gradeinstellungen dieser Entfernung entsprechen. Die Zahl dieser Gradeinstellungen ist das nötige Gewicht in Silber.

Der Proportionalzirkel erlaubt auch noch andere Operationen, wie beispielsweise: